Progressão Geométrica (P.G)

Progressões Geométricas

As Progressões Geométricas são formadas por uma sequência numérica, onde estes números são definidos (exceto o primeiro) utilizando a constante q, chamada de razão. O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q. Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …), onde a razão é 2

A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações, exceto o zero). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número da sequência, e dividir pelo número anterior.
Fórmula do termo geral
A sequinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma sequência em progressão geométrica:
a_n = a₁ . q^{(n – 1)}
onde a é um termo, então a₁ refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar. Exemplo:
q = 2
a₁ = 5
para descobrir, por exemplo, o termo a₁₂, faremos:
a₁₂ = 5 . 2 ^{(12 – 1)}
a₁₂ = 5 . 2¹¹
a₁₂ = 5 . 2048 = 10240

As PG’s podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão:

Oscilante (q < 0)

Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a sequência númerica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando.
(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde a razão é -2

Crescente (q > 0)
 
Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a sequência será formada por números crescentes, como:
(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3

Constante
 
Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os mesmos números. Para isso, a razão deve ser sempre 1:
(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1

Descrescente

As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da sequência são sempre menores do que o número anterior:
(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2
(-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a sequência).

 Exercicios

 1) Represente os termos a₇, a₂, a₃ e a₄, de uma P.G., em função dos a₉, a₅, a₁ e a₃ respectivamente.

2) O produto dos 7 termos de uma P.G. é igual a 4586471424. Qual é o quarto termo?

3) Dadas as sucessões P.G. ( x, y, 147 ) e P.A. ( 5x, y, 27 ), ambas crescentes, quais os valores de x e de y?

4) O sexto termo de uma P.G. é igual a 12500. Se a razão é igual a 5, qual é o terceiro termo?

5) Se somarmos os 7 primeiros termos da P.G. ( 7, 21, ... ) qual será o valor obtido?

6) Ao somarmos o segundo, o quinto e o sexto termo de uma P.G. obtemos 400. Ao somarmos o terceiro, o sexto e o sétimo termo, obtemos o dobro disto. Quanto obteremos se somarmos os três primeiros termos desta progressão?

7) Qual é o produto da multiplicação dos 5 primeiros termos da P.G. ( 6, 9, ... )?

8) O sétimo termo de uma P.G. é igual a 1458 e o nono é igual a 13122. O primeiro é igual a quanto?

9) Qual é a soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683)?

10) Qual é o valor de x na P.G.(x - 40, x, x + 200)?

 

Resolução:  

1)

Para que você consiga resolver com mais habilidade os próximos exercícios, é fundamental que você consiga entender perfeitamente o conceito aplicado na resolução deste exercício, portanto preste bastante atenção e o estude quantas vezes forem necessárias, até que o tenha compreendido por completo.

Na parte teórica deste tema vimos que a partir da fórmula do termo geral da P.G. em função de qualquer termo, exibida abaixo, podemos representar um termo específico em função de qualquer outro termo.

Para representarmos a₇ em função de a₉ temos:

Entretanto vimos que na prática esta fórmula nada mais faz que determinar o número de termos de um ao outro e aplicar este número como o coeficiente de q, que irá multiplicar o termo original. Se o termo final estiver à direita (depois) do termo original o coeficiente será positivo, se estiver à esquerda (antes) será negativo.

a₉ está dois termos à direita a₇, logo precisamos dividi-lo duas vezes pela razão: a₇ = a₉ . q^-2.

a₅ vem três termos depois de a₂, portanto precisamos dividi-lo três vezes pela razão: a₂ = a₅ . q^-3.

a₁ vem dois termos antes de a₃, logo precisamos multiplicá-lo duas vezes pela razão: a₃ = a₁ . q².

a₃ está um termo à esquerda a₄, portanto precisamos multiplicá-lo uma vez pela razão: a₄ = a₃ . q.

Então:

a₇ = a₉ . q^-2, a₂ = a₅ . q^-3, a₃ = a₁ . q² e a₄ = a₃ . q

2)

Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a₄ teremos:

P.G. ( a₄q^-3, a₄q^-2, a₄q^-1, a₄, a₄q, a₄q², a₄q³ ).

A representação do produto dos termos será então:

Perceba que na expressão acima q^-3 anula q³, assim como q^-2 anula q² e q^-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a₄. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a₃, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.

Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:

Portanto:

O quarto termo é igual a 24.

 3)

O termo y é média geométrica da P.G. e média aritmética da P.A., então matematicamente podemos igualar as duas médias assim:

A variável x pode assumir, portanto os valores 3 e 9,72.

Para x = 9,72 temos a P.A. ( 48,6, y, 27 ) que não é aceitável pois o enunciado especifica uma P.A. crescente, então não podemos considerar o valor 9,72.

Para x = 3 temos a P.A. ( 15, y, 27 ) e a P.G. ( 3, y, 147 ) que estão dentro dos padrões do enunciado.

Como y é um termo médio, tanto da P.A., quanto da P.G., vamos calculá-lo na P.A., pois é mais simples:

Assim sendo:

O valor de x é 3 e o valor de y é 21.

4)

Como o terceiro termo está 3 termos à esquerda do sexto termo, podemos expressar a₃ em função de a₆ da seguinte forma:

Como:

Temos:

Portanto:

O valor do terceiro termo é 100.

 5)

A razão da sucessão pode ser obtida da seguinte forma:

Para a solução do exercício temos então as seguintes variáveis:

Calculando temos:

Logo:

O valor obtido ao somarmos os 7 primeiros termos da referida P.G. será de 7651.

 6)

A partir do enunciado montamos duas equações:

Podemos escrevê-las em função do primeiro termo para ficarmos com apenas duas variáveis, a₁ e q:

Repare que podemos colocar q em evidência na segunda equação:

Perceba que esta providência nos permitirá encontrar o valor de q, já que o valor que está entre parênteses é exatamente igual à primeira equação:

Substituindo q pelo seu valor na primeira equação, já com os termos colocados em função de a₁, encontraremos o valor deste termo:

Finalmente, sabendo que a₁ = 8 e que q = 2, podemos calcular o valor da soma dos três primeiro termos:

Portanto:

A soma dos três primeiros termos desta progressão é igual a 56.

7)

A seguir obtemos a razão da sucessão:

As variáveis que dispomos para a solução do exercício são:

Aplicando a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma progressão geométrica temos:

Enfim:

O produto dos cinco primeiros termos da referida P.G. é de 448403,34375.

 8)

Do enunciado temos:

Sabemos que o termo a₈ é média geométrica dos termos a₇ e a₉ conforme abaixo:

Podemos calcular a razão da progressão, pois sabemos que podemos obtê-la como a seguir:

Sabendo que a razão q = 3, podemos encontrar a₁ que se localiza 6 termos à esquerda de a₇. Então temos:

Logo:

O primeiro termo desta P.G. é igual a 2.

9)

Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:

Os dados que dispomos são:

Primeiramente precisamos obter o número de itens da sucessão:

Agora já dispomos de todos os dados necessários ao cálculo da soma dos termos:

Assim sendo:

A soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683) é igual a 29520.

10)

Como x é média geométrica entre x - 40 e x + 200 temos:

Portanto:

O valor de x na progressão geométrica é 50.